这个迷思可能从小学开始就在你们身边流传了——

因为：1/9=0.111...

2/9=0.222...

3/9=0.333...

所以：9/9=0.999...

即：0.999...=1

0.999...=1吗？此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次，每次都能引来上百人激烈的争论，可谓是最经久不衰的老问题了。其实，在学术界里，这个问题也是出了名的争论热点。让我们来看看，这个让你百思不得其解的问题，是怎么折磨数学家们的……

最简单的“证明”

最简单的证明就是上文那样：

1/3=0.333...

两边同时乘以3

1=0.999...

1998年，弗雷德·里奇曼（FredRichman）在《数学杂志》（MathematicsMagazine）上的文章《0.999...等于1吗？》中说到：“这个证明之所以如此具有说服力，要得益于人们想当然地认为第一步是对的，因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托（DavidTall）教授也从调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。

仔细想想你会发现，“1/3等于0.333…”与“1等于0.999…”其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为“0.999…只能越来越接近1而并不能精确地等于1”一样，“0.333…无限接近但并不等于1/3”的争议依旧存在。问题并没有解决。

另一个充满争议的证明

大卫·福斯特·华莱士（DavidFosterWallace）在他的《EverythingandMore》一书中介绍了另外一个著名的证明：

令x=0.999...

所以10x=9.999...

两式相减得9x=9

所以x=1

威廉·拜尔斯（WilliamByers）在《HowMathematiciansThink》中评价这个证明：“0.999...既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把0.999...看作一个过程，但是1是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性⋯⋯他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”

逐渐靠谱的证明

等比级数具有这么一个性质：

如果|r|

那么我们就又有了一个快速的证明：

这个证明最早出现在1770年大数学家欧拉（LeonhardEuler）的《代数的要素》（ElementsofAlgebra）中，不过当时他证明的是10＝9.999...。

之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明：

1846年，美国教科书《大学算术》（TheUniversityArithmetic）里这么说：在0.999...里，每增加一个9，它都离1更近。1895年的另一本教科书《学校算术》（ArithmeticforSchool）则说：如果有非常多的9，那么它和1就相差无几了。意外的是，这些“形象的说法”却适得其反，学生们常常以为0.999...本身其实是比1小的。

随着人们对实数更加深入的理解，0.999...=1有了一些更深刻的证明。1982年，巴图（Robert.G.Bartle）和谢波特（D.R.Sherbert）在《实分析引论》（IntroductiontoRealAnalysis）中给出了一个区间套的证明：

给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中；0.999...对应于区间套[0,1]、[0.9,1]、[0.99,1]、[0.999,1]...，而所有这些区间的唯一交点就是1，所以0.999...=1。

弗雷德·里奇曼的文章《0.999...等于1吗？》里则用戴德金分割给出了一个证明：

所有比0.999...小的有理数都比1小，而可以证明所有小于1的有理数总会在小数点后某处异于0.999...（因而小于0.999...），这说明0.999...和1的戴德金分割是一模一样的集合，从而说明0.999...=1。

格里菲思（H.B.Griffiths）和希尔顿（P.J.Hilton）在1970年出版的《AComprehensiveTextbookofClassicalMathematics:AContemporaryInterpretation》中，用柯西序列给出了另一个证明。

从未停止过的讨论

尽管证明越来越完备，学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托（Pinto）和大卫·托教授的一份调查报告中写到，当学生们用高等方法证明了这个等式之后，会大吃一惊地说，这不对呀，0.999…显然应该比1小呀。

在互联网上，这个等式的魅力也依然不减。辩论0.999…是否等于1被讨论组sci.math评为“最受欢迎的运动”，各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。

一个八卦，诺贝尔奖获者费曼（RichardFeynman）也用这个等式开过一句玩笑：“如果让我背圆周率，那我背到小数点后762位，然后就说99999等等等，就不背了。”

这句话背后的笑点很奇怪：从π的小数点后762位开始，出现了连续的6个9，偏偏在这里来一个“等等等”，就会给人感觉好像后面全是9，这相当于把π变成了一个有限小数。此后，π的小数点后762位就被戏称为了费曼点（FeynmanPoint）。

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编辑：流觞

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